2025年高考数学全国2卷第18题解法优化 |
| 时间：2026-01-18 21:42:57 来源：本站原创文章，保留版权. 作者：本站管理员 |
2025
2
18
年高考数学全国 卷第 题解法优化
关键词： 函数 零点 极值点 单调性 放缩法
2025 年高考数学全国 2 卷第 18 题
1
3
1
f (x) = ln(1+ x) − x + x2 − kx3
0 k
已知函数
，其中
．
2
f (x)
(0,+)
1
（ ）证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的
零点；
f (x)
(0,+)
x , x
2
.
（ ）设
2分别为
在区间
的极值点和零点
1
g(t) = f x + t − f x −t
(
在区间
)
(
单调递减；
)
i
（ ）设函数
.
1
1
0, x
g(t)
（ ）比较 与 的大小，并证明你的结论．
证明：
1
2x
x
ii
1
2
【解析】
求导后因式分解，把恒为正值的
1
3kx2 1
( )
f
=
−1+ x −3kx2 =
−1− x
1
（ ）由题得
， 所有因式放到最前面，把决定正
x
1+ x
1+ x 3k
3kx2
3kx2
负的因式独立出来，这里
恒
1
1
x 0,+
1+ x
0 k
−1 0
(
)
因为
故有
，所以
，
，
0
3
3k
1+ x
为正，不予理睬，只看决定正负的
1
1
( )
x
0 x −1
( )
x
x = −1
f
0
f
= 0
时，
，
时，
，
1
3k
3k
−1− x
.
1
3k
x −1
( )
0
x
f
时，
，
3k
1
1
f x
( )
0, −1
−1,+
所以
在
在
上单调递增，在
上单调递
3k
3k
减，
所以
1
f x
(0,+)
x = −1
上存在唯一极值点
，
1
3k
−x
1+ x
(0,+)
h(x)
构造
目的是证明不等式
h(x) = ln 1+ x − x
(0,+)
h(x) =
0
，
在
上恒成立，
ln 1+ x x
(
)
，为找零点所在区间
h(x) = ln 1+ x − x
所以
在
上单调递减，所以
.
作准备
1
1
1
h
= ln 1+
− 0
2k
2k 2k
1
f 0 = 0 f x
及
0, −1
f (x)
又因为
在
上单调递增，所以
3k
1
0, −1
在
内无零点，
3k
1
f
−1 f (0) = 0
因为
，
3k
2
3
1
1
1 1 1
1
f 1+
= ln 1+
− +
− k
2k
2k 2k 2 2k
2k
ln 1+ x x
此处利用了不等式
进
1
1
= ln 1+
− 0
2k
2k
.
行放缩
1
1
f (x)
f (x)
−1,
x
内有零点 ，
2
所以
因为
在
在
3k
2k
1
−1,+
f x
(0,+)
上单调递减，所以
在
上
3k
x
.
存在唯一零点
2
1
3kx2
1+ x
1
x
用 替
1
−1
在导数表达式中把
x = −1
2 i
1
（ ）（ ）由（ ）知
，则 ( )
，
f
=
x − x
(
)
x
1
1
3k
3k
换掉，使得结构简单
.
3k(x1 + t)2 (−t) 3k(x1 −t)2t
( )
t
t
g
= f x + t + f x −t =
+
(
)
(
)
( )中， 是变量，所以
则
设
g
t
1
1
1+ x1 + t
1+ x1 −t
[ f x − t ] = − f x −t
(
)
(
)
1
1
u 0,v 0
x +t = u,x −t = v
v −u = −2t
，则
，
1
1
关键简化运算的技巧是，
v2
u2
u + v + uv
= −6kt2
0
.
( )
t
g
= 3kt
−
x +t = u,x −t = v
，否则，运算复
1
1
(1+ v)(1+ u)
1+ v 1+ u
.
杂，容易出错
g t
0, x
.
所以函数
在区间
上单调递减
1
2x x
ii
（ ）
2 ，证明如下：
1
g t
0, x
上单调递减，
1
f (0) = 0
i
由（ ）知：函数
在区间
( )
0
g
g x
所以
即
1
f (x + 0) − f (x − 0) f (x + x ) − f (x − x ) = f 2x − f (0)
( )
，
1
1
1
1
1
1
1
0 f 2x
( )
f x = 0
f (x ) f 2x
( )
所以
，又
，所以
1
2
2
1
f x
x ,+
x x ,+
上单调递减， ，
1
由（ ）可知
在
1
2
1
x 2x
.
所以
2
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