2025年高考数学全国1卷第19题解法优化 |
| 时间：2026-01-18 21:42:57 来源：本站原创文章，保留版权. 作者：本站管理员 |
2025
1
19
年高考数学全国 卷第 题解法优化
关键词： 三角函数 周期函数 偶函数 单调性 最大值 最小值 任意 存在
2025
1
19
年高考数学全国 卷第 题
f (x) = 5cos x −cos5x
设函数
．
π
f (x)
0,
1
（ ）求
在
的最大值；
4
(0,π)
2
a
3
先理解（ ）的题意
（ ）给定
，设 为实数，
y[a −
,a +
]
cos y cos
g(x) = 5cos x −cos(5x +)
证明：存在
，使得
；
设
（ ）若存在 使得对任意 ，都有
5cos x −cos(5x +) b
[g(x)] = t()
3
x
，
，
max
当 变化时，
[t()] b
.
b
求 的最小值．
min
f x
( )
f x = −5sin x + 5sin5x =10cos3xsin 2x
( )
1
解析：（ ）
，
= −5sin(3x − 2x) + 5sin(3x + 2x)
π
π
x 0,
0 x
.
sin2x 0
cos3x 0
时，
当
时，
，
=10cos3xsin 2x
4
6
π
π
x
cos3x 0
当
时，
6
4
π
x
π
π π
0,
,
6
6
6 4
f x
( )
＋
0
－
f x
极大
↗
↘
π
π
5π
f x
( )
f
的最大值为
= 5cos − cos = 3 3
.
故
6
6
6
2
cos x cos
（ ）设
的解集为
B = a −
,a +
，
A ={x| 2kπ + x 2kπ + 2π −,k Z}
y = cos x
，记
a
利用周期性，缩小 的范围
a[0,2
)
2
根据
则有
的周期为 ，不妨设
，
a +
.
，所以 A
B
cos y cos
，使得
a − 2 −
y[a −,a +]
.
所以存在
g(x) = 5cos x − cos 5x +
(
)
3
（ ）记
，
g(x + 2π) = 5cos x + 2π − cos 5x +10π +
= g x
) ( )
(
)
(
因为
，
g x
故
是周期为2π的周期函数，
x
.
利用周期性，缩小 和 的范围
2 2
3
x − ,
[0,2π)
.
所以只需讨论
，
的情况
−
6
−
6
−
6
5
−5
6
−
g x
y
的 轴右侧的第一
是
g
= 5cos
− cos
+
= 6cos
6
.
个极值点
−
6
(− , ]
因为
，所以
6 6
−
−
g
= 6cos
3 3
，所以[g(x)]max 3 3
.
6
6
利用放缩法说明当
3
2 4
4 2
3
2
x − ,−
,
x − ,− ,
当
时，
，
cos x
2 4
4 2
2
g(x) = 5cosx −cos(5x +
)
g(x)
时， 的函数值都小于
，从
3 3
4 4
5 2
5 2
2
− ,
而转化到
上求最大值，利
− cos(5x +)
+1 3 3
2
1
用第（ ）结论优化了解题过程
.
4 4
x − ,
g(x)
才能取到最大值
.
所以
时，
= 0
g(x) = f (x) = 5cosx −cos5x
g(x)
当
时，
是偶函数，只需考虑
x[0, ]
.
的最大值
时，
4
1
由第（ ）题可知，[g(x)]max = 3 3
，
[g(x)]
.
综上所述，当 变化时，
的最小值为
3 3
max
g(x) b
x
因为存在 使得对任意 ，都有
，所以
，
b 3 3
b
.
所以 的最小值为
3 3 |
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