2025
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年高考数学全国 卷第 题解法优化
关键词：三角函数 周期函数 偶函数 单调性 最大值
最小值 任意 存在
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19
年高考数学全国 卷第 题
f (x) = 5cosx −cos5x
设函数
．
π
0,
f (x)
1
（ ）求
在
的最大值；
4
(0,π)
y[a −
2
（ ）给定
a
，设 为实数，
,a +
]
cos y cos
证明：存在
，使得
；
，
3
x
（ ）若存在 使得对任意 ，都有
5cosx −cos(5x +) b
，求 的最小值．
b
3
先理解（ ）的题意
g(x) = 5cos x −cos(5x +
)
[g(x)] = t()
，
设
max
[t()] b
.
当 变化时，
min
f x = −5sin(3x − 2x) + 5sin(3x + 2x)
( )
=10cos3xsin2x
f x = −5sin x + 5sin5x =10cos3xsin2x
( )
1
解析：（ ）
，
，
π
π
x 0,
.
当
0 x
cos3x 0
时，sin2x 0
时，
4
6
π
π
cos3x 0
x
当
时，
6
4
π
π π
π
x
0,
,
6
6 4
6
f x
( )
0
＋
－
f x
( )
↗
极大
↘
π
π
5π
f x
( )
f
= 5cos − cos = 3 3
.
故
的最大值为
6
6
6
2
（ ）设
cos x cos
的解集为
A ={x | 2kπ +
x 2kπ + 2π −
,k Z}
，记
y = cosx
B = a −,a +
2
，根据
的周期为 ，不妨设
a[0,2)
，
a
利用周期性，缩小 的范围
a +
A
.
B
则有
，所以
a − 2 −
y[a −,a +]
cos y cos
.
所以存在
，使得
g(x) = 5cos x − cos 5x +
(
)
3
（ ）记
，
因为
g(x + 2π) = 5cos x + 2π − cos 5x +10π +
= g x
) ( )
(
)
(
，
g x
( )
2π
是周期为 的周期函数，
故
2 2
3
x − ,
[0,2π)
的情况
.
所以只需讨论
，
x
.
利用周期性，缩小 和 的范围
−
g x
( )
y
的 轴右侧的第一个极值点
.
是
6
−
6
−
6
5 −5
g
= 5cos
− cos
+
6
−
6
= 6cos
−
(− , ]
因为
，所以
6
6 6
−
6
−
6
g
= 6cos
3 3
.
[g(x)] 3 3
，所以
max
2 4
3
4 2
x − ,−
,
利用放缩法说明当
4 4
− ,
g(x)
时，
的函数值都小于
，从而转化到
3 3
1
.
上求最大值，利用第（ ）结论优化了解题过程
2 4
3
4 2
2
x − ,−
,
当
时，
，
cos x
2
g(x) = 5cosx −cos(5x +)
5 2
2
5 2
2
− cos(5x +
)
+1 3 3
4 4
x − ,
g(x)
.
才能取到最大值
所以
时，
= 0
时，
g(x) = f (x) = 5cosx −cos5x
当
是偶函数，只
4
g(x)
.
的最大值
x[0, ]
需考虑
时，
1
[g(x)] = 3 3
由第（ ）题可知，
，
max
[g(x)]
.
综上所述，当 变化时，
的最小值为
3 3
max
g(x) b
x
因为存在 使得对任意 ，都有
，所以
，
b 3 3
b
.
所以 的最小值为
3 3
|
