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复杂涂色问题的常用解题策略------优先涂两两相邻区域

时间：2026-02-27 18:09:42 来源：本站原创文章，保留版权。作者：本站管理员

复杂涂色问题的常用解题策略

关键词：互相牵制，分类讨论，利用对称性，优化分类，

先定核心区域，优先涂相邻区域最多，优先涂限制最强

的区域，减少分类，优先涂两两相邻区域，利用枚举法，

转化为等效图，立体图形平面化，点线段区域化。

涂色问题在高考题中时常出现，复杂涂色问题核

心技巧是分类分步 + 模型化，避开重复或遗漏，把复

杂问题拆解为基础涂色模型，结合计数原理计算，算得

结果。下面通过例题谈谈常用的解题策略。

例 1.（2008 年全国高考 1 卷第 12 题）

如图，一环形花坛分成 A，B，C，D四块，现有 4 种不

同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块

种不同的花，则不同的种法总数为（

A．96 B．84 C．60

）

D．48

分析：把 4 种不同的花，看成 4 种不同颜色，

A,B,C,D 四个区域呈环状排列，按照 ABCD 顺序涂色，

A，C 是否同色对 D 的选色，产生直接的影响，所以要

对 C 与 A 是否同色进行分类讨论。

解：第一步涂 A，有 4 种选色方法，第二步涂 B，

有 3 种选色方法，

第三步涂 C 和 D，分两类：

①当 C 与 A 同色，C 有 1 种选法，D 有 3 种选法；

②当 C 与 A 不同色，因为 C 与 B 不同色，

所以 C 有 2 种选法，D 有 2 种选法；

根据分步计数原理，共有 4×3×（1×3+2×2）=84 种种花

方法，故选 B。

第一条策略是，根据互相牵制的情况，进行分类讨

论。利用此策略，可以解决例 2 的问题。

例 2. 如图，6 个扇形区域 A，B，C，D，E，F，

现给这 6 个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相

邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有 4 种不同的

颜色可用，共有多少种不同方法？

分析：A、B、C、D、E、F 呈环状排列，按照 ABCDEF

顺序涂色，当涂到 E 时，需要知道 A、E 是否同色，

如果对 A、E 是否同色进行讨论，就意味着，涂完 A 后，

就立刻涂 E，然后涂 BCD，当涂到 D 时，需要知道 C、

E 是否同色，如果对 C、E 是否同色进行讨论，就意味

着，涂完 AE 后，就立刻涂 C，因此就要调整涂色顺序

为 ACEBDF，并且对 ACE 是否同色进行分类讨论。

解法一：（1）当相间区域 A、C、E 着同一种颜色

时，有 4 种着色方法，此时，B、D、F 各有 3 种着色

方法，此时，B、D、F 各有 3 种着色方法，

故有 4×3×3×3=108 种方法。

（2）当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时，

C²A²

有

₄种着色方法，不妨设 AC 同色，则 B 有 3 种，

C²A²3 2 2

D、F 各有 2 种着色方法，故共有

=432

种

着色方法。

（3）当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有

A³

₄种着色方法，此时 B、D、F 各有 2 种着色方法。

A³ 2 2 2

此时共有

=192 种方法。

故总计有 108+432+192=732 种方法。

再来分析这道题，整个图形具有轴对称性，比如，

关于区域 BE 对称，可以分为 BE 左侧即 AF，BE 右侧

即 CD，如果最先涂 BE，再涂 CD，当涂到 D 时，需要

知道 C 是否与 E 同色，进而需要知道 BE 是否同色，

于是，就要对 BE 是否同色，CE 是否同色进行讨论。

解法二：最先涂 BE。

（1）当 BE 同色时，涂 BE 有 4 种方法，

涂 CD 有32种，同理涂 AF 也有32种，

（2）当 BE 不同色时，涂 BE 有43种方法，

①当 C 与 E 同色时，先涂 C 再涂 D，有13种方

法

②当 C 与 E 不同色时，先涂 C 再涂 D，有 22

方法，

种

由①②得，当 BE 不同色时涂 CD 有13+ 22 = 7

方法，同理涂 AF 也有 7 种方法。

种

由（1）（ 2）可知共有43232 + 4377 = 732

第二条策略，如果有对称性，可以根据对称性先研

究某一侧问题，优化分类。

例 3.（2003 年江苏高考第 15 题）

某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个

部分（如图）．现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽

种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽

种方法有多少种？

分析：图中 A 与其他 5 个区域都相邻，处在中心

位置，先涂 A，则其他区域可使用的颜色就减少了，降

低了难度，按照顺序 A、B、C、D、E、F 顺序，当涂

到 F 时，需要知道 BE 是否涂色，于是需要对 BE 是否

同色进行分类，调整顺序为 A、B、E、C、D、F，当涂

到 D 时，需要知道 CE 是否同色，于是需要对 CE 是否

同色进行讨论。

解法一：先涂 A，有 4 种方法，

（1）当 BE 同色时，涂 B、E，有31种方法，

涂 C、D、F 依次有 2、1、2 种方法，

所以共有431212 = 48种。

（2）当 BE 不同色时，涂 B、E，有32种方法，

①当 CE 同色时，涂 C、D、F 依次有 1、2、1

种方法，所以共有432121= 48种。

②当 CE 不同色时，涂 C、D、F 依次有 1、1、

1 种方法，

所以共有432111= 24种，

综合（1）（ 2）可知，共有48+ 48+ 24 =120种.

第三条策略，先定核心区域，优先涂相邻区域最多、

限制最强的区域（如多边形中心、图形顶点的核心点），

减少后续分类。

再来分析这道题，图形中 ABC 两两相邻，两两相

邻的还有 ACD，ADE，AEF，AFB.可以先涂两两相邻

区域，留下的三种再用枚举法。

解法二：设四种颜色为 1、2、3、4，先涂 ABC，

A³

有种，不妨设 A、B、C 已经分别涂了 1、2、3 颜色，

再涂 DEF，暂时不考虑 DEF 之间的不同色，DEF 的颜

色可选的情况有：

因为 DF 可以同色，所以 D、E、F 的涂色情况

有 234,243,423,424,434，有 5 种方法.

5A³=120

故共有

种方法。

第四条策略，优先涂尽量多的两两相邻区域，剩余

的区域利用枚举法，降低思维难度。利用此策略可以解

决例 4。

例 4.（2010 年高考数学天津卷第 10 题）

如图，用四种不同颜色给图中的 A，B，C，D，E，

F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线

段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（

）

A．288 种 B．264 种

C．240 种 D．168 种

分析：图形中ADE 两两相邻，两两相邻的还有 BFC。

可以先涂两两相邻区域，留下的三种再用枚举法。

A³

解：设四种颜色为 1、2、3、4，先涂 ADE，有

种，不妨设 A、D、E 已经分别涂了 1、2、3 颜色，再

涂 BFC，暂时不考虑 BFC 之间的不同色，BFC 的颜色

可选的情况有：

因为 BFC 互不同色，所以 B、F、C 的涂色情况有以下

11 种方法：213, 214，241，243，314，321，324，341，

413，421，423.

11A³= 264

故共有

种方法.

例 5. 将一个四棱锥S − ABCD的每个顶点染上一

种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜

色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

分析：虽然是立体图形，但从染色效果来看，等价

于平面图形，等价于把四棱锥压扁了，如下图，

顶点 S 与其余四个点都相邻，用第三条策略，先

染点 S，有 5 种方法，其余四个点成环状分布，每个点

涂色都与 S 不同，相当于用 4 种颜色染 ABCD，这样

问题就化归为例 1 的问题。

解法一：先染点 S，有 5 种方法，再染 ABCD，

据例 1 可知有 84 种方法，

所以共有 5×84=420 种不同方法。

再来分析一下，图中有三个两两相邻的点，如 SAB，

可以利用第四条策略，先染 SAB，余下的再用枚举法。

解法二：设 5 种颜色为 1、2、3、4、5，先染 SAB，

A³

有种方法，不妨设 S、A、B 分别染了颜色 1、2、3。

再染 CD，暂时不考虑 CD 不同色，颜色选择有如下情

况：

因为 CD 不同色，所以有以下 7 种方法：

23，24，25，43，45，53，54。

7A³= 420

所以共有

种不同的染色方法。

第五条策略，转化为等效图（如，立体图形平面化，

点、线段区域化）。

例 6. 用六种颜色给正四面体 A− BCD的每条棱染

色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的

颜色，问有多少种不同的涂色方法？

图（1）

图（2）

图（3）

分析：可以把三棱锥“压扁”，变成平面图形，如图

（2），六条棱中每一条都与其他四条棱有公共端点，可

以进一步依据相邻与否，把六条棱变成对应的六个区

域，如图（3），这样就转化为相邻区域不同色的问题了.

如图（3）edf 三个区域两两相邻，可以先涂，再涂剩余

三个 abc 区域，因为有 6 个颜色可用，如果用枚举法，

就略显繁琐，可以对 a 是否与 d 同色进行分类讨论，只

留下 bc，枚举较为方便。

解法一：设六种颜色为 1、2、3、4、5、6。

A³

第一步，涂 edf 有种方法，不妨设 e、d、f 分别涂了

颜色 1、2、3。

第二步，涂 a，分为两类

①当 a 与 d 同色，涂 a 有 1 种方法，涂 bc 时，暂

时不考虑 bc 不同色，bc 可选的颜色情况为：

涂 bc 有如下 13 种方法：12，14，15，16，42，45，46，

52，54，56，62，64，65.

②当 a 与 d 不同色，涂 a 有 3 种方法，不妨设

a 涂了颜色 4，涂 bc 时，暂时不考虑 bc 不同色，bc 可

选的颜色情况为：

涂 bc 有如下 7 种方法：12，15，16，52，56，62，65.

A³(113+ 37)

所以共有

=4080。

解法二：

（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同

A³

一颜色，而这三组间的颜色不同，故有 ₆种方法。

（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组

对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有

C₃²A⁴

₆种方法。

（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组

C¹A⁵

对棱涂同一种颜色，故有

₆种方法。

A⁶

（4）若恰用六种颜色涂色，则有 ₆种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数

A³+C²A⁴+ C¹A⁵+ A⁶= 4080

为

种。

例 7. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，

将正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁的 6 个面涂色，每两个具有

公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有

多少种？

分析：正方体的每个顶点都有具体的名字，所以六

个面也就都有具体的名字，将上下左右前后的面分别

命名为 a、b、c、d、e、f，根据涂色要求，可以作出等

效平面图，如上图所示，利用以上策略，可求得共有

4080 种涂色方法。

例 8. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，

将一个正方体的 6 个面涂色，每两个具有公共棱的面

涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？

分析：正方体的每个顶点都没有具体的名字，所以

六个面也就都没有具体的名字，所以此题不同于例 7。

考虑到正方体的旋转对称性（即通过旋转可以重合的

涂色视为同一种），适宜采用涂了多少种颜色进行分类

讨论。

解：显然，至少需要 3 三种颜色，根据共用多少

种不同的颜色分类讨论。

（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底

面，则上底颜色可有 5 种选择，在上、下底已涂好后，

再确定其余 4 种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则

其余 3 个面有 3 ！种涂色方案，根据乘法原理

n = 53!= 30种。

C⁵

（2）共用五种颜色，选定五种颜色有种方法，

必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其

颜色可有 5 种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的

方法数取决于右侧面的颜色，有 3 种选择（前后面可通

n = C⁵53 = 90

过翻转交换），共有

种。

(3)共用四种颜色,仿上分析可得，

n = C⁴C²= 90

种。

n = C³= 20

(4)共用三种颜色

种。

综上所述：共有 30+90+90+20=230 种方法。

利用好以上常见策略，掌握好解题步骤（标区域，

定策略，选核心，定（分类）标准，算每类，汇结果），

就一定能解决复杂的涂色问题。

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